Задача 108669

Темы:    [ Проекции оснований, сторон или вершин трапеции ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Пусть O – центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC . Прямая BO вторично пересекает описанную окружность в точке D , а продолжение высоты, опущенной из вершины A , пересекает окружность в точке E . Докажите, что площадь четырёхугольника BECD равна площади треугольника ABC .

Подсказка

AECD — равнобедренная трапеция.

Решение

Заметим, что BCD = 90^o как вписанный угол, опирающийся на диаметр. Поэтому CD || AE . Значит, AECD – равнобедренная трапеция. Пусть H – основание высоты треугольника ABC , проведённой из вершины A . Тогда

S_BECD = S_{Δ BDC}+S_{Δ BEC} = BC · CD + BC · EH = BC(CD+EH),

S_{Δ ABC} = BC· AH.
Осталось доказать, что CD+EH=AH . Обозначим, AE = a , CD = b . Поскольку AH и HE – проекции соответственно диагонали AC и боковой стороны CE равнобедренной трапеции AECD на её основание AE , то
HE = , AH = .
Значит,
CD + EH = b + = = AH.
Что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4495