Задача 108690

Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ] [ Площадь треугольника (через высоту и основание) ] [ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Дан треугольник ABC, в котором  AB = BC ≠ AC.  На стороне AB выбрана точка E, на продолжении стороны AC за точку A выбрана точка D, причём  ∠BDC = ∠ECA.  Докажите, что площади треугольников DEC и ABC равны.

Подсказка

Треугольники BDC и ECA подобны.

Решение

  Треугольники BDC и ECA подобны по двум углам. Далее можно рассуждать по разному.

  Первый способ. Если BB₁ и EE₁ – высоты этих треугольников, то  BB₁ : EE₁ = DC : AC,  то есть  AC·BB₁ = DC·EE₁.
  Следовательно,  2S_DEC = DC·EE₁ = AC·BB₁ = 2S_ABC.

  Второй способ.  BС : EA = DC : AC,  то есть  AC·BC = DC·EA.
  Следовательно,  2S_DEC = 2S_DEA + 2S_AEC = DA·EA sin∠A + AC·EA sin∠A = DC·EA sin ∠A = AC·BC sin∠C = 2S_ABC.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6226