Задача 108691

Темы:    [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Теорема косинусов ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В равнобедренную трапецию ABCD ( AB=CD ) вписана окружность. Пусть M – точка касания окружности со стороной CD , K – точка пересечения окружности с отрезком AM , L – точка пересечения окружности с отрезком BM . Вычислите величину + .

Решение

Пусть N – середина основания AD . Обозначим

AN = ND = DM = a, AK = x, AM = y, ADC = α.
По теореме косинусов из треугольника ADM находим, что
y2 = AM2 = AD2 +DM2 - 2AD· DM cos ADM =

=4a2+a2 - 4a2 cos α = a2(5-4 cos α).
По теореме о касательной и секущей
xy = AK· AM = AN2 = a2.
Поэтому
= = = = 5-4 cos α.
Аналогично находим, что = 5+4 cos α . Следовательно,
+ = (5-4 cos α) + (5+4 cos α) = 10.

Ответ

10.00

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6227