Задача 108699

Темы:    [ Вспомогательная окружность ] [ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Дан остроугольный треугольник ABC; B₁ и C₁ – основания высот, опущенных из вершин B и C соответственно. Точка D – основание перпендикуляра, опущенного из точки B₁ на AB; E – точка пересечения перпендикуляра, опущенного из точки D на сторону BC, с отрезком BB₁. Докажите, что  EC₁ || AC.

Решение

Пусть H – точка пересечения высот треугольника ABC.  DE || AH,  поэтому  ∠DEB₁ = ∠AHB₁.  Точки B₁ и C₁ лежат на окружности с диаметром AH, поэтому  ∠ AC₁B₁ = ∠AHB₁. Таким образом, из точек C₁ и E, лежащих по одну сторону от прямой DB₁, отрезок DB₁ виден под одним и тем же углом. Значит, точки D, C₁, E и B₁ лежат на одной окружности, а так как  ∠B₁DC₁ = 90°,  то B₁C₁ – диаметр этой окружности. Поэтому  EC₁ ⊥ BB₁.  Следовательно,  EC₁ || AC.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6235