Задача 108761

Темы:    [ Линейные зависимости векторов ] [ Углы между прямыми и плоскостями ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна a . Боковое ребро образует с плоскостью основания угол 60^o . Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение

Пусть ABCP – данная правильная треугольная пирамида с вершиной P , AB = BC = AC = a , M – центр равностороннего треугольника ABC , K – середина AB , PAM = PBM = PCM = 60^o . Поскольку пирамида правильная, PM – её высота, а PK – апофема. Пусть S – площадь боковой поверхности пирамиды ABCP . Из прямоугольных треугольников PAM и PKM находим, что

PM = AM tg PAM = · · tg 60^o = · = a,

PK = = = ,
а т.к. боковые грани правильной пирамиды – равные равнобедренные треугольники и PK – высота треугольника ABP , то
S = S_{Δ ABP} + S_{Δ BCP} + S_{Δ ACP} = 3S_{Δ ABP} = 3· AB· PK =

= 3· a· = = .


Пусть ABCP – данная правильная треугольная пирамида с вершиной P , AB = BC = AC = a , M – центр равностороннего треугольника ABC , K – середина AB , PAM = PBM = PCM = 60^o . Поскольку пирамида правильная, PM – её высота. Поскольку PK AB и MK AB , угол PKM – линейный угол двугранного угла между плоскостью боковой грани ABP и плоскостью основания ABC . Из прямоугольного треугольника PKM находим, что
tg β = tg PKM = = = 2,

cos β = = ,
Пусть S – площадь боковой поверхности данной пирамиды. Ортогональная проекция боковой поверхности пирамиды на плоскость основания есть треугольник ABC , поэтому
S = S_{Δ ABC} cos β = = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	7004