Задача 108764

Темы:    [ Векторное произведение ] [ Линейные зависимости векторов ] [ Углы между прямыми и плоскостями ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна a . Боковое ребро образует с плоскостью основания угол 60^o . Найдите радиус сферы, описанной около пирамиды.

Решение

Пусть ABCP – данная правильная треугольная пирамида с вершиной P , AB = BC = AC = a , M – центр равностороннего треугольника ABC , PAM = PBM = PCM = 60^o . Поскольку пирамида правильная, PM – её высота. Из прямоугольного треугольника PAM находим, что

AP = = = .
Поскольку центр описанной сферы равноудалён от вершин основания ABC , он лежит на прямой PM . Рассмотрим сечение пирамиды ABCP плоскостью, проходящей через точки A , P и середину L ребра BC . Получим треугольник APL , вершины A и P которого расположены на окружности с центром, лежащим на высоте PM , причём радиус R этой окружности равен радиусу сферы, описанной около пирамиды ABCP , и AM = 2ML . Продолжим AL до пересечения с окружностью в точке N . Поскольку PAQ = 60^o и PN = AP , треугольник APQ – равносторонний, поэтому
R = AP· = · = .


Пусть ABCP – данная правильная треугольная пирамида с вершиной P , AB = BC = AC = a , M – центр равностороннего треугольника ABC , PAM = PBM = PCM = 60^o . Поскольку пирамида правильная, PM – её высота. Из прямоугольного треугольника AMP находим, что
PM = AM tg PAM = · = a.
Поскольку центр описанной сферы равноудалён от вершин основания ABC , он лежит на прямой PM . Продолжим высоту PM пирамиды до пересечения с описанной сферой в точке Q . Рассмотрим сечение пирамиды ABCP плоскостью, проходящей через точки A , P и Q . Поскольку PQ – диаметр окружности, радиус которой равен искомому радиусу R сферы, треугольник APQ – прямоугольный. Отрезок AM – его высота, проведённая из вершины прямого угла. Значит, AM2 = PM· MQ=PM(PQ-PM) , или
()2 = a(2R-a).
Из этого уравнения находим, что R= .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	7007