Задача 108765

Темы:    [ Векторы (прочее) ] [ Линейные зависимости векторов ] [ Углы между прямыми и плоскостями ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна a . Боковое ребро образует с плоскостью основания угол 60^o . Найдите радиус сферы, вписанной в пирамиду.

Решение

Пусть ABCP – данная правильная треугольная пирамида с вершиной P , AB = BC = AC = a , M – центр равностороннего треугольника ABC , L – середина BC , PAM = PBM = PCM = 60^o . Поскольку пирамида правильная, PM – её высота. Из прямоугольного треугольника PAM находим, что

PM = AM tg PAM = · · tg 60^o = · = a.
Поскольку PL BC и ML BC , угол PLM – линейный угол двугранного угла между плоскостью боковой грани BCP и плоскостью основания ABC . Из прямоугольного треугольника PLM находим, что
tg β = tg PLM = = = 2.
Центр O сферы, вписанной в правильную пирамиду ABCP лежит на её высоте PM , а т.к. эта сфера вписана в двугранный угол между плоскостями граней BCP и ABC , то точка O лежит в биссекторной плоскости этого угла. Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью APL . Получим треугольник APL и окружность, касающуюся двух его сторон LP и LA , причём стороны KC – в точке M . Радиус r этой окружности равен радиусу сферы, вписанной в пирамиду, центр O лежит на высоте PM , а OLM = . Из прямоугольного треугольника OML находим, что
r = OM = LM tg = · tg .
Поскольку tg β = , имеем уравнение
2 = ,
из которого находим, что
tg = .
Следовательно,
r = · tg = · = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	7008