Задача 108766

Темы:    [ Линейные зависимости векторов ] [ Углы между прямыми и плоскостями ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Боковое ребро правильной треугольной пирамиды образует с плоскостью основания угол 60^o . Найдите угол апофемы с плоскостью соседней боковой грани.

Решение

Пусть a – сторона основания ABC правильной треугольной пирамиды ABCP , β – угол боковой грани с плоскостью основания, ϕ – искомый угол между апофемой PK ( K – середина AB ) и плоскостью грани APC , M – центр основания ABC , N – середина AC , D – ортогональная проекция точки K на плоскость грани APC . Тогда искомый угол ϕ – это угол KPD , а sin ϕ = . Таким образом, для решения задачи нужно найти апофему пирамиды и расстояние от точки K до плоскости грани APC . Из прямоугольных треугольников PAM и PKM находим, что

PM = AM tg PAM = · · tg 60^o = · = a,

PK = = = .
Поскольку K – середина наклонной AB к плоскости грани APC , расстояние KD вдвое меньше расстояния от точки B до этой плоскости. Пусть BG – высота треугольника PBN . Тогда отрезок BG перпендикулярен плоскости грани APC , поэтому KD = BG . Из прямоугольного треугольника BGN находим, что
BG = BN sin BNP = BN sin β = BN sin PKM =

= BN· = = , KD = .
Следовательно,
sin ϕ = = = .

Ответ

arcsin .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	7009