Задача 108769

Темы:    [ Линейные зависимости векторов ] [ Углы между прямыми и плоскостями ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна a . Боковая грань образует с плоскостью основания угол 45^o . Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение

Пусть ABCDP – данная правильная четырёхугольная пирамида с вершиной P , AB = BC = CD = AD = a , M – центр квадрата ABCD , K – середина отрезка AB , S – площадь боковой поверхности пирамиды. Поскольку PK AB и MK AB , угол PKM – линейный угол двугранного угла между плоскостью боковой грани ABP и плоскостью основания пирамиды. По условию PKM = 45^o . Апофему PK пирамиды находим из прямоугольного треугольника PKM :

PK = = = .
Боковые грани правильной пирамиды – равные равнобедренные треугольники, поэтому
S = S_{Δ ABP} + S_{Δ BCP} + S_{Δ CDP} + S_{Δ ADP} =

= 4S_{Δ ABP} = 4· AB· PK = 2a· = a2.


Пусть ABCDP – данная правильная четырёхугольная пирамида с вершиной P , AB = BC = CD = AD = a , M – центр квадрата ABCD , K – середина отрезка AB , S – площадь боковой поверхности пирамиды. Поскольку PK AB и MK AB , угол PKM – линейный угол двугранного угла между плоскостью боковой грани ABP и плоскостью основания пирамиды. По условию PKM = 45^o . Ортогональная проекция боковой поверхности пирамиды на плоскость основания есть квадрат ABCD , поэтому
S = = = a2.

Ответ

a2 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	7012