Задача 108770

Темы:    [ Линейные зависимости векторов ] [ Углы между прямыми и плоскостями ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Боковая грань правильной четырёхугольной пирамиды образует с плоскостью основания угол 45^o . Найдите угол бокового ребра с плоскостью основания.

Ответ

Пусть ABCDP – данная правильная четырёхугольная пирамида с вершиной P , AB = BC = CD = AD = a , M – центр квадрата ABCD , K – середина отрезка AB . Поскольку PK AB и MK AB , угол PKM – линейный угол двугранного угла между плоскостью боковой грани ABP и плоскостью основания пирамиды. По условию PKM = 45^o . Поскольку пирамида правильная, её высота проходит через центр основания, значит, PM – высота пирамиды. Из равнобедренного прямоугольного треугольника PKM находим, что PM = MK = . Пусть α – угол бокового ребра с плоскостью основания пирамиды. Из прямоугольного треугольника AMP находим, что

tg α = tg MAP = = = .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	7013