Задача 108771

Темы:    [ Линейные зависимости векторов ] [ Углы между прямыми и плоскостями ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Боковая грань правильной четырёхугольной пирамиды образует с плоскостью основания угол 45^o . Найдите угол между противоположными боковыми гранями.

Решение

Пусть ABCDP – данная правильная четырёхугольная пирамида с вершиной P , AB = BC = CD = AD = a , M – центр квадрата ABCD , K и N – середины отрезков AB и CD соответственно. Поскольку PK AB и MK AB , угол PKM – линейный угол двугранного угла между плоскостью боковой грани ABP и плоскостью основания пирамиды. По условию PNM = PKM = 45^o . Плоскости боковых граней ABP и CDP проходят через параллельные прямые AB и CD и имеют общую точку P , поэтому они пересекаются по прямой l , проходящей через точку P параллельно прямым AB и CD , причём PK l и PN l . Значит, линейный угол двугранного угла между противоположными боковыми гранями PAB и PCD – это угол KPN . Из равнобедренного треугольника KPN находим, что

KPN = 180^o - PKN - PNK = 180^o - 45^o - 45^o = 90^o.

Ответ

90^o .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	7014