Задача 108776

Темы:    [ Углы между прямыми и плоскостями ] [ Линейные зависимости векторов ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Боковая грань правильной четырёхугольной пирамиды образует с плоскостью основания угол 45^o . Найдите угол между апофемой пирамиды и плоскостью соседней грани.

Решение

Пусть ABCDP – данная правильная четырёхугольная пирамида с вершиной P ; AB = BC = CD = AD = a ; M – центр квадрата ABCD ; K , L , N и E – середины отрезков AB , BC , CD и AD соответственно. Поскольку PK AB и MK AB , угол PKM – линейный угол двугранного угла между плоскостью боковой грани ABP и плоскостью основания пирамиды. По условию PKM = 45^o . Апофему PK пирамиды находим из прямоугольного треугольника PKM :

PK = = = .
Найдём угол между апофемой PK и плоскостью грани APD . Пусть H – ортогональная проекция точки K на плоскость грани APD , ϕ – искомый угол. Тогда ϕ = KPH и sin ϕ = . Поскольку K – середина отрезка AB , расстояние KH от точки K до плоскости грани APD вдвое меньше расстояния от точки B до этой плоскости, а т.к. прямая BC параллельна плоскости APD , то все её точки равноудалены от этой плоскости. Поскольку EPL – равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой EL = a , расстояние от точки L до плоскости грани APD равно . Поэтому
KH = LP = .
Значит,
sin ϕ = = = .
Следовательно, ϕ = 30^o .

Ответ

30^o .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	7019