Задача 108781

Темы:    [ Линейные зависимости векторов ] [ Углы между прямыми и плоскостями ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Высота правильной шестиугольной пирамиды равна стороне основания. Найдите угол между соседними боковыми гранями.

Решение

Пусть ABCDEFP – данная правильная шестиугольная пирамида с вершиной P ; M – центр правильного шестиугольника ABCDEF . Обозначим AB = BC = CD = DE = EF = AF = a . Поскольку пирамида правильная, PM – её высота (из условия следует, что PM = a ). Значит, угол PDM – это угол бокового ребра с плоскостью основания. В прямоугольном треугольнике DPM известно, что PM = DM = a , поэтому PDM = 45^o . Прямая DM – ортогональная проекция бокового ребра DP на плоскость основания пирамиды. Так как DM CE , то по теореме о трёх перпендикулярах DP CE . Опустим перпендикуляр CH из вершины C на боковое ребро DP . Прямая DP перпендикулярна двум пересекающимся прямым CE и CH плоскости CEH , поэтому прямая DP перпендикулярна этой плоскости. Значит, угол CHE – линейный угол двугранного угла между плоскостями боковых граней CDP и EDP . Обозначим CHE = γ . Пусть N – точка пересечения диагоналей AD и FC правильного шестиугольника ABCDEF . Тогда N – середина отрезка MD ,

NH DP, NH CE, ND = , CN = .
Из прямоугольного треугольника DNH находим, что
NH = DN sin NDH = DN sin PDM = · sin 45^o = .
Следовательно,
tg = tg NHC = = = 2 = .
По известной формуле тригонометрии можно найти и косинус угла γ :
cos γ = = = -.

Ответ

2 arctg = arccos (-) .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	7024