Задача 108784

Темы:    [ Линейные зависимости векторов ] [ Углы между прямыми и плоскостями ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Высота правильной шестиугольной пирамиды равна стороне основания. Найдите угол между апофемой и плоскостью соседней боковой грани.

Решение

Пусть ABCDEFP – данная правильная шестиугольная пирамида с вершиной P ; M – центр правильного шестиугольника ABCDEF ; K – середина AB , G – середина AF . Обозначим AB = BC = CD = DE = EF = AF = a . Поскольку пирамида правильная, PM – её высота. Из условия следует, что PM=a . Кроме того, PK AB и MK AB . Значит, угол между боковой гранью и плоскостью основания – это угол PKM , а т.к. MK – высота равностороннего треугольника ABM со стороной a , то MK = . Из прямоугольного треугольника PKM находим,что

tg β = tg PKM = = = .

cos β = = = , sin β = .
Апофему PK пирамиды находим из прямоугольного треугольника PKM :
PK = = =.
Найдем угол между апофемой PK и плоскостью грани APF . Пусть Q – ортогональная проекция точки K на плоскость грани APF , ϕ – искомый угол. Тогда ϕ = KPQ и sin ϕ = . Поскольку K – середина отрезка AB , расстояние KQ от точки K до плоскости грани APF вдвое меньше расстояния от точки B до этой плоскости, а т.к. прямая BE параллельна плоскости APF , то все её точки равноудалены от этой плоскости. Поэтому расстояние от точки B до плоскости грани APF равно высоте MT прямоугольного треугольника PMG . Так как PGM = PKM = β , то
MT = MG sin β = · = .
Поэтому
KQ = MT = .
Следовательно,
sin ϕ = = = .

Ответ

arcsin .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	7027