ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108841
Темы:    [ Равногранный тетраэдр ]
[ Достроение тетраэдра до параллелепипеда ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Тетраэдр называется равногранным, если все его грани – равные между собой треугольники. Докажите, что если достроить равногранный тетраэдр до параллелепипеда, проведя через его противоположные рёбра пары параллельных плоскостей, то получится прямоугольный параллелепипед,

Решение

Докажем сначала, что у равногранного тетраэдра противоположные рёбра попарно равны. Пусть ABCD – тетраэдр, в котором грани – равные разносторонние треугольники со сторонами a , b и c . Причём AB=c , AC=b и BC=a . Тогда CD=c , т.к. в противном случае либо треугольник ABD , либо BDC был бы равнобедренным, что невозможно. Аналогично, BD=AC=b и AD=BC = a . Если грани – равные равнобедренные треугольники, утверждение очевидно. Перейдём к нашей задаче. У полученного параллелепипеда каждая грань – параллелограмм с равными диагоналями, т.е. прямоугольник. Следовательно, параллелепипед – прямоугольный.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 7267

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .