Задача 108842

Темы:    [ Равногранный тетраэдр ] [ Достроение тетраэдра до параллелепипеда ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Тетраэдр называется равногранным, если все его грани – равные между собой треугольники. Докажите, что все грани равногранного тетраэдра – остроугольные треугольники.

Решение

Заметим, что у равногранного тетраэдра противоположные рёбра попарно равны. Пусть в тетраэдре ABCD известно, что AB=CD=c , BC = AD=b и AC=BD=a ; ACB = γ . Достроим тетраэдр ABCD до параллелепипеда AKBLNDMC ( AN || KD || BM || LC ), проведя через его противоположные рёбра пары параллельных плоскостей. Получим прямоугольный параллелепипед, диагонали граней которого равны a , b и c . Обозначим BL=x , BM=y , BK=z . Тогда по теореме Пифагора

x2+y2=a2, y2+z2=b2, x2+z2=c2,
откуда a2+b2-c2 = 2y2 . Значит,
cos γ = = = >0.
Следовательно, γ <90^o . Аналогично для остальных углов треугольника. Что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	7268