ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108842
Темы:    [ Равногранный тетраэдр ]
[ Достроение тетраэдра до параллелепипеда ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Тетраэдр называется равногранным, если все его грани – равные между собой треугольники. Докажите, что все грани равногранного тетраэдра – остроугольные треугольники.

Решение

Заметим, что у равногранного тетраэдра противоположные рёбра попарно равны. Пусть в тетраэдре ABCD известно, что AB=CD=c , BC = AD=b и AC=BD=a ; ACB = γ . Достроим тетраэдр ABCD до параллелепипеда AKBLNDMC ( AN || KD || BM || LC ), проведя через его противоположные рёбра пары параллельных плоскостей. Получим прямоугольный параллелепипед, диагонали граней которого равны a , b и c . Обозначим BL=x , BM=y , BK=z . Тогда по теореме Пифагора

x2+y2=a2, y2+z2=b2, x2+z2=c2,

откуда a2+b2-c2 = 2y2 . Значит,
cos γ = = = >0.

Следовательно, γ <90o . Аналогично для остальных углов треугольника. Что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 7268

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .