Версия для печати
Убрать все задачи

---

Суммы плоских углов при каждой из трёх вершин тетраэдра равны по 180^o . Докажите, что все грани тетраэдра равны (т.е. тетраэдр – равногранный).

   Решение

---

В очереди к стоматологу стоят 30 ребят: мальчиков и девочек. Часы на стене показывают 8:00. Как только начинается новая минута, каждый мальчик, за которым стоит девочка, пропускает её вперед. Докажите, что перестановки в очереди закончатся до 8:30, когда откроется дверь кабинета.

   Решение

---

Докажите, что если все грани тетраэдра равны (равногранный тетраэдр), то его развёртка на плоскость грани есть треугольник.

   Решение

Темы:    [ Равногранный тетраэдр ] [ Развертка помогает решить задачу ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что если все грани тетраэдра равны (равногранный тетраэдр), то его развёртка на плоскость грани есть треугольник.

Решение

Пусть развёртка тетраэдра ABCD на плоскость грани ABC состоит из треугольников ABC , D1BC , D2AC и D3AB . Обозначим BAC = α , ABC=β , ACB=γ . Поскольку противоположные рёбра равногранного тетраэдра попарно равны, в равных треугольниках ABC и D1CB равны углы ACB и CBD1 . Значит, CBD1 = ACB = γ . Аналогично, ABD3 = BAC = α . Следовательно,

D1BD3 = CBD1 + CBA + ABD3 = γ + β + α = 180^o.
Поэтому точка B лежит на отрезке D1D3 (причём B – середина D1D3 ). Аналогично докажем, что точка C лежит на отрезке D1D2 , а точка A – на отрезке D2D3 . Следовательно, развёртка тетраэдра ABCD на плоскость грани ABC есть треугольник D1D2D3 .

Источники и прецеденты использования