Задача 108850

Темы:    [ Площадь и объем (задачи на экстремум) ] [ Правильная пирамида ] [ Правильная призма ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Объём правильной четырёхугольной пирамиды равен V , угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 30^o . Рассматриваются правильные треугольные призмы, вписанные в пирамиду так, что одно из боковых рёбер лежит на диагонали основания пирамиды, одна из боковых граней параллельна основанию пирамиды, и вершины этой грани лежат на боковых гранях пирамиды. Найдите: а) объём той призмы, плоскость боковой грани которой делит высоту пирамиды в отношении 2:3, считая от вершины; б) наибольшее значение объёма рассматриваемых призм.

Решение

а) Обозначим через a сторону основания ABCD данной правильной пирамиды PABCD . Пусть плоскость, параллельная основанию пирамиды и проходящая через точку Q , лежащую на высоте PO пирамиды, делит высоту в данном отношении = . Тогда в сечении пирамиды этой плоскостью получится квадрат A1B1C1D1 со стороной a (точки A1 , B1 , C1 , D1 лежат на отрезках PA , PB , PC , PD соответственно). Пусть боковое ребро KK1 правильной призмы KLMK1L1M1 лежит на диагонали AC квадрата ABCD . Тогда вершины противоположной боковой грани LMM1L1 призмы лежат на сторонах соответственно A1D1 , A1B1 , B1C1 , C1D1 квадрата A1B1C1D1 . Из прямоугольного треугольника AOP находим, что

PO = AO tg OAP = · tg 30^o = .
Тогда, если KF – высота равностороннего треугольника KLM , то
KF = OQ = PO = · = .
Пусть b – сторона основания призмы. Тогда KF = . Из уравнения = находим, что b= . Обозначим LL1=MM1=KK1 = h . Поскольку прямоугольник LMM1L1 вписан в квадрат A1B1C1D1 , причём его стороны параллельны диагоналям квадрата, периметр прямоугольника равен сумме диагоналей квадрата, т.е. 2h+2b = 2· a . Значит,
h = a - =.
Поэтому
V_KLMK1L1M1 = S_{Δ KLM}· KK1 = · h = · · = .
Выразим найденный объём через объём V данной пирамиды:
V=V_PABCD = S_ABCD· OP = a2· = .
Следовательно,
V_KLMK1L1M1 = = = V.
б) Пусть теперь = x ( 0<x<1 ). Тогда
A1B1 = ax, KF = OQ = (1-x)PO = , b = LM = .
Из уравнения h+ = ax находим, что
KK1=LL1 = h = ax-=ax=.
Тогда
V_KLMK1L1M1 = V(x) = S_{Δ KLM}· KK1 =

=· h = · = (1-x)2(4x-1).
Осталось найти наибольшее значение функции V(x) на промежутке (;1) .

Решив уравнение V'(x)=0 , найдём критические точки функции V(x) :
V'(x) = ((1-x)2(4x-1))' =

=(-2(1-x)(4x-1)+4(1-x)2) = (x-1)(6x-3) = 0.
Промежутку (;1) принадлежит корень x= . При переходе через точку производная V'(x) меняет знак с плюса на минус. На промежутке (;) функция V(x) возрастает, а на промежутке (;1) – убывает. Значит, в точке x= функция достигает наибольшего значения на промежутке (;1) . Следовательно,
V_max = V() = (1-)2 (4· -1)=V.


Применив неравенство Коши для трёх чисел, получим, что
V(x) = (1-x)2(4x-1) = (1-x)2(2x-)

()3 =· = V,
причём равенство достигается, если 1-x=2x- , т.е. при x= . Это значение x принадлежит рассматриваемому промежутку (;1) .

Ответ

Ю) V ; А) V .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	7452