Задача 108863

Темы:    [ Метод координат в пространстве ] [ Площадь и ортогональная проекция ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Площади проекций некоторого треугольника на координатные плоскости Oxy и Oyz равны соответственно и , а площадь проекции на плоскость Oxz – целое число. Найдите площадь самого треугольника, если известно, что она также является целым числом.

Решение

Пусть вектор, перпендикулярный плоскости исходного треугольника, образует с осями координат Ox , Oy и Oz углы α , β и γ соответственно. Тогда

cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1.
Обозначим площадь исходного треугольника через S , а площади проекций на координатные плоскости Oyz , Oxz и Oxy через S_x , S_y и S_z соответственно ( S_z= , S_x= ). По теореме о площади проекции плоской фигуры на плоскость
= S_x = S| cos α|, S_y = S| cos β|, = S_z = S| cos γ|.
Тогда
7+6+S_y2 = S2 cos2α + S2 cos2β+S2 cos2γ = S2( cos2α + cos2β+ cos2γ) = S2.
Поэтому
S2-S_y2 = 13, (S-S_y)(S+S_y) = 13.
Поскольку оба сомножителя в левой части равенства – положительные целые числа, причём второй сомножитель больше первого, равноство возможно только в случае, когда

Из этой системы находим, что S_y=7 .

Ответ

7.00

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	7558