Задача 108864

Темы:    [ Метод координат в пространстве ] [ Куб ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

На рёбрах A1B1 , AB , A1D1 и DD1 единичного куба ABCDA1B1C1D1 взяты точки K , L , M и N соответственно, причём A1K = , AL = , A1M = . Определите, какое из рёбер A1D1 или D1C1 пересекает плоскость, параллельную отрезку ML и содержащую отрезок KN . В каком отношении это ребро делится плоскостью?

Решение

Выберем систему координат с началом в точке A1 . Ось x направим по лучу A1D1 , ось y – по лучу A1B1 , ось z – по лучу A1A . Тогда координаты точек K , L , M и N таковы:

K(0;;0), L(0;;1), M(;0;0), N(1;0;t),
где 0 t 1 . Отложим от точки L вектор
= = (0-;-0;0-0) = (-;;0).
Тогда точка P имеет координаты (-;;1) . Искомая плоскость проходит через точки K , P и N . Ищем уравнение этой плоскости в виде ax+by+cz = 1 . Подставляя в это уравнение координаты точек K , P и N , находим, что
c=, a=, b=.
После очевидных упрощений получим уравнение (9t+30)x+15(t+3)y+z=10(t+3) . Подставив нули вместо y и z найдём точку пересечения плоскости с прямой A1D1 – x= , а т.к. 0 t 1 , то 1 x . Значит, секущая плоскость не пересекает ребро A1D1 . Подставив в полученное уравнение x=1 и z=0 найдём точку пересечения плоскости с прямой D1C1 – y= , а т.к. 0 t 1 , то 0 y . Значит, секущая плоскость пересекает ребро D1C1 и при этом точка пересечения делит это ребро в любом отношении от 0 до , считая от вершины D1 .

Ответ

D1C1 ; в любом отношении от 0 до , считая от вершины D1 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	7559