Задача 108871

Темы:    [ Расстояние между скрещивающимися прямыми ] [ Метод координат в пространстве ] [ Правильный тетраэдр ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Найдите угол между скрещивающимися медианами двух граней правильного тетраэдра.

Решение

Найдём угол α между мединами DM и AK граней соответственно ADB и ABC правильного тетраэдра ABCD (рис.1). Для этого через центр Q грани ABC проведём прямую, параллельную DM . Пусть эта прямая пересекает ребро СD в точке S . Тогда искомый угол равен углу между пересекающимися прямыми QS и AK . Пусть ребро тетраэдра равно a . Из подобия треугольников QSC и MDC находим, что

QS = MD· = · = .
Кроме того, CS= CD =a . Из треугольника CKS по теореме косинусов находим, что
SK2 = CK2+CS2-2CK· CS cos 60^o = +a2-2· · a· = a2.
Значит,
cos α = | cos KQS| = || = || =.
Пусть E – середина ребра AD (рис.2). Найдём угол β между прямыми BE и AK . Для этого через точку Q проведём прямую, параллельную BE . Эта прямая пересекает ребро среднюю линию ER треугольника ADC в точке T . Тогда искомый угол равен углу между пересекающимися прямыми QT и AK . Из подобия треугольников QTR и BER находим, что
QT = BE· = · = .
Кроме того, если точка J делит ребро CD в отношении = , то AT= AJ . Из треугольника ACJ по теореме косинусов находим, что
AJ2 = AC2+CJ2-2AC· CJ cos 60^o = a2+a2-2a· a· = a2.
Поэтому AT2= AJ2 = a2 . Тогда из треугольника AQT по теореме косинусов находим, что
cos β = | cos AQT| = || = || =.


Введём прямоугольную систему координат с началом в точке A (рис.3). Ось x направим по лучу AK . Пусть P – проекция точки M на прямую, проходящую через вершину A параллелльно BC . Тогда ось y направим по лучу AP . Через точку A проведём прямую, параллельную высоте DQ тетраэдра. Пусть L – проекция точки D на эту прямую. Тогда ось z направим по лучу AL . Тогда интересующие нас точки имеют следующие координаты:
A(0;0;0), K(;0;0), D(;0;a), M(;;0),

B(;;0), E(;0;a).
Значит,
= (;0;0), = (-;;-a)= (;;-a),

= (-;-;a)= (;-;a).
Следовательно,
cos α = ||= ||=,

cos β = ||= ||=.

Ответ

arccos , arccos .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	7569