Условие
Сфера радиуса 4 с центром в точке Q касается трёх параллельных
прямых в точках F , G и H . Известно, что площадь треугольника QGH
равна 4
, а площадь треугольника FGH больше 16. Найдите угол
GFH .
Решение
Пусть прямая a касается данной сферы в точке F (рис.1). Проведём через
точку Q плоскость α , перпендикулярную прямой a . Если прямая a
пересекает эту плоскость в точке F1 , то QF1
a , а т.к. прямая,
касающаяся сферы, перпендикулярна радиусу сферы, проведённому в
точку касания, то QF a . Из единственности перпендикуляра,
проведённого к данной прямой через данную точку, следует, что точка
F1 совпадает с точкой F .
Поскольку данные прямые параллельны, плоскость α
перпендикулярна каждой из них. Значит, плоскость α
проходит также через точки G и H .
Треугольник FGH вписан в окружность пересечения сферы с
плоскостью α . Пусть SΔ FGH = S . По условию
4 = SΔ QGH = 
QG· QH sin 
GQH =
· 4· 4 sin GQH = 8 sin GQH,
откуда
sin GQH = 
. Значит, либо
GQH = 45
o ,
либо
GQH = 135
o .
Пусть
GQH = 45
o . Если точка
F лежит на большей из дуг
GH , (рис.2) то
площадь треугольника
FGH максимальна, если точка
F совпадает с
точкой
A , лежащей на серединном перпендикуляре к хорде
GH , т.е. на
диаметре
AB окружности, перпендикулярном хорде
GH . Если
C –
середина этой хорды, то
S 
GH· AC < GH· AB =
· AB =
= 
· 8 =
16 
< 16· 1 = 16,
что противоречит условию. Если точка
F лежит на меньшей из дуг
GH (рис.3),
то
SΔ FGH SΔ BGH < SΔ AGH < 16,
что также противоречит условию.
Пусть
GQH = 135
o . Тогда площадь сектора с углом
GQH , равным
135
o , составляет три восьмых от площади круга радиуса 4, т.е. равна
6
π . Если точка
F лежит на меньшей из дуг
GH (рис.4), то площадь
треугольника
FGH меньше площади сегмента, ограниченного этой дугой,
т.е.
S < 6π - SΔ QGH = 6π - 4 < 16
(6π - 4 < 16 
6π < 4 + 16
3π < 2 + 8 3π < 10 < 2 + 8),
что противоречит условию.
Если точка
F лежит на большей из дуг
GH (рис.5), то
S может быть
больше 16. В самом деле, пусть
F совпадает с серединой
A большей из
дуг
GH . Тогда
AQG = AQH = (360o - 135o) = 112.5o < 120o,
поэтому
SΔ AGH = SΔ QGH + 2SΔ AQH =
4 + 4· 4· sin 112.5o >
> 4 + 4· 4· sin 120o = 4 + 8
> 4 + 8· 1.5 = 4 + 12 = 16.
Таким образом,
GQH = 135
o , а точка
F лежит на большей из дуг
GH . Следовательно,
GFH = GQH = · 135o = 67.5o.
Ответ
.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
7744 |
