Задача 108887

Темы:    [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ] [ Четырехугольники (прочее) ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Автор: Берлов С.Л.

KLMN – выпуклый четырёхугольник, в котором равны углы K и L. Серединные перпендикуляры к сторонам KN и LM пересекаются на стороне KL.
Докажите, что в этом четырёхугольнике равны диагонали.

Решение

Так как точка P пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам KN и LM равноудалена от концов каждого из этих отрезков, то треугольники KPN и LPM – равнобедренные (см. рис.). В этих треугольниках равны углы при основаниях, поэтому равны и углы при вершине Р.

Таким образом,  KP = NP,  MP = LP  и  ∠KPM = ∠NPL  (углы, смежные с равными). Следовательно, треугольники KPM и NPL равны, значит,  KM = NL.

Замечания

Задача предлагалась также на Санкт-Петербургской олимпиаде 1997 г.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4476
олимпиада
Название	Московская устная олимпиада для 6-7 классов
год/номер
Номер	15 (2017 год)
Дата	2017-03-19
класс
Класс	7 класс
задача
Номер	7.6