|
|
 |
Условие
Окружность, построенная на стороне AC остроугольного треугольника ABC как на диаметре, пересекает стороны AB и BC в точках K и L. Касательные к этой окружности, проведённые в точках K и L, пересекаются в точке M. Докажите, что прямая BM перпендикулярна AC.
Решение
Первый способ. Пусть O – середина AC, тогда ∠KOL = 2∠KAL = 2(90° – ∠B).
Поскольку OK ⊥ KM и OL ⊥ LM, то ∠KML = 180° – ∠KOL = 2∠B.
При этом MK = ML как касательные, проведённые к окружности из одной точки. Значит, M – центр окружности, проходящей через точки K, L и B. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что ∠BLM = ∠CAL = 90° – ∠C, а так как треугольник BML – равнобедренный, то
∠MBL = ∠BLM = 90° – ∠C.
Следовательно, ∠MBL + ∠C = 90°,
то есть BM ⊥ AC.
Второй способ. Пусть отрезки AL и CK пересекаются в точке H. Поскольку AL и CK – высоты треугольника ABC, то третья его высота BN проходит через точку H. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что ∠BKM = ∠ACK = ∠ABN. Поэтому прямая KM проходит через середину гипотенузы прямоугольного треугольника BKH. Аналогично прямая LM также проходит через середину BH. Значит, точка M пересечения этих прямых – середина BH, то есть лежит на третьей высоте BN треугольника ABC.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 4477 |
