Версия для печати
Убрать все задачи

---

Дано множество точек O, A₁, A₂, ..., A_n на плоскости. Расстояние между любыми двумя из этих точек является квадратным корнем из натурального числа. Докажите, что существуют такие векторы x и y, что для любой точки A_i выполняется равенство     где k и l – некоторые целые числа.

   Решение

Темы:    [ Угол между касательной и хордой ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Вневписанные окружности ] [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ] [ Вписанный угол равен половине центрального ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Окружность, построенная на стороне AC остроугольного треугольника ABC как на диаметре, пересекает стороны AB и BC в точках K и L. Касательные к этой окружности, проведённые в точках K и L, пересекаются в точке M. Докажите, что прямая BM перпендикулярна AC.

Решение

  Первый способ. Пусть O – середина AC, тогда  ∠KOL = 2∠KAL = 2(90° – ∠B).
  Поскольку  OK ⊥ KM  и  OL ⊥ LM,  то  ∠KML = 180° – ∠KOL = 2∠B.
  При этом  MK = ML  как касательные, проведённые к окружности из одной точки. Значит, M – центр окружности, проходящей через точки K, L и B. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что  ∠BLM = ∠CAL = 90° – ∠C,  а так как треугольник BML – равнобедренный, то
∠MBL = ∠BLM = 90° – ∠C.
  Следовательно,  ∠MBL + ∠C = 90°,  то есть  BM ⊥ AC.

  Второй способ. Пусть отрезки AL и CK пересекаются в точке H. Поскольку AL и CK – высоты треугольника ABC, то третья его высота BN проходит через точку H. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что  ∠BKM = ∠ACK = ∠ABN.  Поэтому прямая KM проходит через середину гипотенузы прямоугольного треугольника BKH. Аналогично прямая LM также проходит через середину BH. Значит, точка M пересечения этих прямых – середина BH, то есть лежит на третьей высоте BN треугольника ABC.

Источники и прецеденты использования