Задача 108896

Темы:    [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч. ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Автор: Крыжановский О.Ф.

В остроугольном неравностороннем треугольнике через одну вершину проведена высота, через другую – медиана, через третью биссектриса.
Докажите, что если проведённые линии, пересекаясь, образуют треугольник, то он не может быть равносторонним.

Решение

  Пусть высота AH треугольника ABC пересекает медиану BM в точке P, биссектрису CL – в точке R, а биссектриса CL и медиана BM пересекаются в точке Q. Допустим, что треугольник PQR – равносторонний. Тогда  ∠RCH = 90° – ∠CRH = 90° – 60° = 30°,  ∠C = 60°.
  Кроме того,  ∠PBH = 90° – ∠BPH = 90° – ∠RPQ = 90° – 60° = 30°,  ∠BMC = 90°.
  Значит, BM – высота и медиана треугольника ABC. Поэтому треугольник ABC – равнобедренный, а так как один из его углов (угол C) равен 60°, то он – равносторонний. Противоречие.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6245