Задача 108900

Темы:    [ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Дан выпуклый четырёхугольник ABCD. Серединные перпендикуляры к диагоналям BD и AC пересекают сторону AD в точках X и Y соответственно, причём X лежит между A и Y. Оказалось, что прямые BX и CY параллельны. Докажите, что прямые BD и AC перпендикулярны.

Решение

Пусть M – точка пересечения указанных серединных перпендикуляров. Обозначим  ∠BXM = ∠DXM = α.  Тогда, поскольку  BX || CY,  ∠CYD = ∠BXD = 2α,  а так как CYD – внешний угол при вершине Y равнобедренного треугольника AYC, то  ∠CAY = α = ∠MXY.  Значит,  AC || XM,  а так как  YM ⊥ AC,  то
YM ⊥ XM.  Следовательно, прямые BD и AC, соответственно перпендикулярные прямым XM и YM, также перпендикулярны.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6250