Условие
Дана окружность Ω и точка P вне её. Проходящая через точку P прямая l пересекает окружность в точках A и B. На отрезке AB отмечена такая точка C, что PA·PB = PC². Точки M и N – середины двух дуг, на которые хорда AB разбивает окружность Ω. Докажите, что величина угла MCN не зависит от выбора прямой l.
Решение
Будем считать, что точка A лежит на отрезке PB. Проведём из точки P касательные PK и PL к Ω (K и L – точки касания).
PK² = PL² = PA·PB = PC². Значит, PK = PL = PC, то есть точки K, L и C лежат на окружности с центром P и радиусом PL.
Пусть прямая KC пересекает окружность Ω в точке M'. Обозначим ∠PKA = α, ∠PCK = ∠PKC = β . Тогда ∠ABK = ∠AKP = α,
∠AKC = ∠PKC – ∠AKP = β – α.
С другой стороны, ∠BKC = ∠PCK – ∠KBC = β – α.
Значит, прямая KC – биссектриса угла BKA и поэтому пересекает дугу AB в её середине M. Аналогично прямая LC проходит через точку N. Таким образом, ∠MCN = ∠KCL = ½ (360° – ∠KPL), а величина угла KPL не зависит от выбора прямой l.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 6259 |
