|
|
 |
Условие
Даны две параллельные прямые и отрезок на одной из них. С помощью одной линейки разделите этот отрезок на три равные части.
Решение 1
Пусть l1 и l2 – данные параллельные прямые, отрезок AB лежит на прямой l1.
Отметим точку M в той полуплоскости относительно прямой l2, которая не содержит точек A и B. Тогда отрезки MA и MB пересекают прямую l2 в некоторых точках C и D соответственно. Через точку N пересечения отрезков AD и BC проведём прямую MN. Эта прямая пересекает l1 и l2 соответственно в серединах F и E – серединах оснований AB и CD трапеции ACDB. Через точку P пересечения прямых AE и BC проведём прямую, параллельную прямым l1 и l2 (см. задачу 53776). Пусть проведённая прямая пересекает отрезки AC, AD и BD в точках G, Q и L соответственно. Поскольку AE – медиана треугольника ACD и GQ || CD, точка P – середина GQ. Поскольку AD и BC – диагонали трапеции ACDB, отрезки GP и QL равны. Значит, GP = PQ = QL. Проведём прямые MP и MQ. Пусть X и Y – точки их пересечения с прямой l1. Тогда
AX = XY = YB.
Решение 2
Покажем, как разделить такой отрезок на k равных частей.
Мы знаем, как с помощью одной линейки разделить пополам отрезок, лежащий на одной из двух данных параллельных прямых (см. задачу 53775). Тогда для каждого натурального n можно разделить такой отрезок на 2n
равных частей.
Пусть l1 и l2 – данные параллельные прямые, отрезок AB лежит на прямой l1. Разделим произвольный отрезок CT, лежащий на прямой l2 на 2n равных частей, где 2n > k. Пусть D – правый конец k-го из получившихся
отрезков, считая от точки C. Тогда отрезок CD прямой l2 разделён на k равных отрезков.
Если прямые AC и BD пересекаются в точке H, то прямые, проходящие через эту точку и концы полученных отрезков, делят отрезок AB на k равных частей.
Если AC || BD, то через полученные точки деления, проведём прямые, параллельные AC и BD.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 6265 |
