Условие
Точка D лежит на основании AC равнобедренного треугольника ABC. Точки E и F таковы, что середина отрезка DE лежит на стороне AB, середина отрезка DF лежит на стороне BC и EDA = ∠FDC. Середина K отрезка EF
лежит внутри треугольника ABC. Докажите, что ∠ABD = ∠CBK.
Решение
Пусть L – середина DE, а M – середина DF. Из теоремы о стредней линии треугольника следует, что
KMDL – параллелограмм. Пусть прямая, проходящая через точку K и параллельная AC, пересекает стороны AB и BC в точках P и Q соответственно. Тогда ∠PKL = ∠CDM = ∠ADL = ∠RKM, а ∠KPL = ∠KRM. Таким образом, треугольники KPL и KRM подобны по двум углам. Поскольку треугольники ALD и CMD тоже подобны, то
KR : KP = KL : KM = DL : DM = AD : CD.
Обозначим KP = a, KR = b, AD/KR = CD/KP = k. Тогда PR = a + b, AC = k(a + b).
Значит, AB : BR = BC : BR = AC : PR = k = AD : KR, а так как ∠BAD = ∠BRK, то треугольники ABD и RBK подобны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, ∠ABD = ∠RBK = ∠CBK.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
6291 |
