Задача 108941

Темы:    [ Вневписанные окружности ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Пусть вневписанные окружности треугольника, касающиеся сторон AC и BC , касаются прямой AB в точках P и Q соответственно. Докажите, что середина стороны AB совпадает с серединой отрезка PQ .

Решение

Обозначим AB = c , BC = a , AC=b . Известно, что AP = BQ = p , где p – полупериметр треугольника. Тогда, если T – середина PQ , то

PT = PQ = (QA+AB+BP) = ((p-c)+c+(p-c)) =

=(2p-c)= (a+b+c-c) = .
значит,
BT = PT - BP = -(p-c) = - = ,
т.е. T – середина AB .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6292