Задача 108945

Темы:    [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Вневписанные окружности ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Средняя линия треугольника ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Одна из вневписанных окружностей треугольника ABC касается стороны AB и продолжений сторон CA и CB в точках C₁, B₁ и A₁ соответственно. Другая вневписанная окружность касается стороны AC и продолжений сторон BA и BC в точках B₂, C₂ и A₂ соответственно. Прямые A₁B₁ и A₂B₂ пересекаются в точке P, прямые A₁C₁ и A₂C₂ – в точке Q. Докажите, что точки A, P и Q лежат на одной прямой.

Решение

  Из решения задачи 55404 следует, что середина D отрезка A₁A₂ является также серединой стороны BC.

  Биссектриса угла C треугольника ABC является биссектрисой внешнего угла равнобедренного треугольника A₂CB₂ и, значит, параллельна основанию A₂B₂, то есть прямой PA₂. В то же время эта биссектриса перпендикулярна прямой A₁B₁. Поэтому  ∠A₁PA₂ = 90°,  то есть PD – медиана прямоугольного треугольника A₁PA₂, проведённая к гипотенузе. Следовательно,  ∠DA₂P = ∠DPA₂,  ∠A₁DP = 2∠DA₂P = ∠ACB.  Значит,  DP || AC,  а так как D – середина стороны BC, то прямая DP содержит среднюю линию треугольника ABC, а значит, проходит через середину E стороны AB. Отсюда
EP = PD – ED = DA₂ – ED = ½ (b + c) – ^b/₂ = ^c/₂ = AE,  то есть треугольник PEA – равнобедренный, а так как  EP || CB₁,  то
∠EAB₁ = 180° – ∠AEP = 180° – (180° – 2∠EAP) = 2∠EAP.  Следовательно, AP – биссектриса угла BAB₁.
  Аналогично луч AQ – биссектриса угла CAC₂. Поскольку биссектрисы вертикальных углов являются дополнительными лучами, точки A, P и Q лежат на одной прямой.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6296