Задача 108950
|
|
 |
Условие
Прямая l – касательная к окружности, описанной вокруг остроугольного треугольника ABC , проведённая в точке B . Точка K – проекция ортоцентра треугольника на прямую l , а точка L – середина стороны AC . Докажите, что треугольник BKL – равнобедренный.Решение
Пусть H – ортоцентр треугольника ABC , O – центр описанной окружности, L' – проекция точки L на прямую L . Тогда отрезки BK и BL' – проекции отрезков BH и OL на прямую l . Рассмотрим случай, когда точки A и K расположены по одну сторону от прямой BC . Известно, что BH || OL и BH = 2OL . Поэтому BK = 2BL' , а т.к. точка L' лежит на луче BK , то L' – середина отрезка BK . Значит LL' – серединный перпендикуляр к отрезку BK . Следовательно, треугольник BKL – равнобедренный.
Рассмотрим случай, когда точки A и K расположены по одну сторону от прямой BC . Пусть H – ортоцентр треугольника ABC ; CC1 и AA1 – высоты треугольника. Поскольку
точки K , C1 и A1 лежат на окружности с диаметром BH . Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
Значит, BK || C1A1 , т.е. вписанный четырёхугольник BKC1A1 – равнобедренная трапеция, KC1 = BA1 . Поскольку LA1 и LC1 – медианы прямоугольных треугольников AA1C и AC1C , проведённые из вершин прямых углов,
Кроме того,
Поэтому треугольники BA1L и KC1L равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, BL=KL . Что и требовалось доказать.
Известно, что образ H' ортоцентра H при симметрии относительно середины L стороны AC треугольника ABC лежит на описанной окружности, причём точка H' – точка, диаметрально противоположная вершине B . Поэтому, B – проекция точки H' на прямую l . Тогда проекция L' на прямую l середины L отрезка HH' есть середина проекции BK этого отрезка. Значит LL' – серединный перпендикуляр к отрезку BK . Следовательно, треугольник BKL – равнобедренный.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 6301 |
