Задача 108980

Темы:    [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Диаметр, основные свойства ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Перебор случаев ] [ Окружности (построения) ]

Сложность: 5 Классы: 8,9

Условие

В данную окружность вписать прямоугольник так, чтобы две данные точки внутри окружности лежали на сторонах прямоугольника.

Решение

Заданные точки можно считать расположенными на сторонах искомого прямоугольника различным образом и получить в соответствии с этим несколько решений. Так, считая, что обе точки лежат на одной стороне прямоугольника, мы всегда получим единственное решение такого вида. Для этого проведем через эти точки хорду круга. Через ее концы проведем диаметры круга (рис. 1,а). Соединив их концы с концами хорды, получим один из искомых прямоугольников, что легко доказать. Такого вида решение невозможно лишь тогда, когда обе данные точки лежат на диаметре. Считая точки лежащими на противоположных сторонах прямоугольника, а прямоугольник – построенным, найдем точки, симметричные данным относительно центра круга. Если данные точки - A и B , то симметричны им относительно центра круга соответственно точки A₁ и B₁ (рис. 1,б), которые лежат на сторонах прямоугольника. Отсюда видно, что стороны прямоугольника можно построить, соединив точку A с точкой B₁ и точку B с точкой A₁ . Полученные прямые симметричны относительно центра, а потому определяемые ими хорды параллельны и равны. Если соединить концы этих хорд, получим прямоугольник, что легко доказать из свойств симметрии: если центр крута соединить, например, с концом хорды AB₁ то OK – радиус. Симметричная с точкой K точка M должна лежать на второй хорде ( A₁B ) и на расстоянии, равном OK . Поэтому OM=OK , MK – диаметр. Угол MCK = 90^o (опирается на диаметр). Следовательно, параллелограмм, который получится, если соединить соседние концы хорд, будет прямоугольником. Такое решение может быть только одним в общем случае. Оно невозможно, если точки A и B лежат на одном диаметре и не симметричны относительно центра круга. Решений бесконечное множество, если точки A и B лежат на одном диаметре и симметричны относительно центра круга. Наконец, можно построить прямоугольники такие, что данные точки лежат на их смежных сторонах (рис. 1,в). Рассмотрев такой прямоугольник, заметим, что отрезок AB виден из вершины M под прямым углом. Отсюда вытекает построение. На отрезке AB как на диаметре строим полуокружность. Если эта полуокружность пересекается с данной окружностью в двух точках, то найдем еще два решения (рис. 1,в), если они касаются, – одно (рис. 1,г), и ни одного, если полуокружность не пересекает данную окружность (рис. 1,д). Итак, задача может не иметь решения (рис. 2,а), может иметь два (рис. 2,б), три (рис. 2,е), четыре (рис. 2,г) и бесконечное множество решений (рис. 2,д).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Белорусские республиканские математические олимпиады
олимпиада
Год	1962
Номер	12
Название	12-я Белорусская республиканская математическая олимпиада
Задача
Название	Задача 7.6