Задача 108991

Темы:    [ Правильные многоугольники ] [ Касающиеся окружности ] [ Площади криволинейных фигур ] [ Площадь круга, сектора и сегмента ] [ Площадь четырехугольника ] [ Вычисление площадей ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Условие

Внутри правильного n-угольника со стороной a вписано n равных кругов так, что каждый круг касается двух смежных сторон многоугольника и двух соседних кругов. Найти площадь "звёздочки", ограниченной только дугами вписанных кругов.

Решение

Соединим центры вписанных кругов между собой. Площадь "звездочки" найдём как разность между площадью полученного внутреннего n-угольника (его вершины – центры вписанных кругов) и площадью суммы n секторов вписанных кругов, высекаемых сторонами внутреннего многоугольника (см. рис.).

Сторона внутреннего многоугольника равна диаметру кругов. Вычислим их радиус r – радиус вписанной окружности четырёхугольника OKAL. По известной формуле     Площадь внутреннего многоугольника     Сумма углов всех секторов равна  (n – 2)π,  поэтому сумма S₂ их площадей равна сумме площадей  n – 2  полукругов радиуса r. Итак, искомая площадь равна   

Ответ

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Белорусские республиканские математические олимпиады
олимпиада
Год	1962
Номер	12
Название	12-я Белорусская республиканская математическая олимпиада
Задача
Название	Задача 9.6