ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108991
Темы:    [ Правильные многоугольники ]
[ Касающиеся окружности ]
[ Площади криволинейных фигур ]
[ Площадь круга, сектора и сегмента ]
[ Площадь четырехугольника ]
[ Вычисление площадей ]
Сложность: 3
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Внутри правильного n-угольника со стороной a вписано n равных кругов так, что каждый круг касается двух смежных сторон многоугольника и двух соседних кругов. Найти площадь "звёздочки", ограниченной только дугами вписанных кругов.


Решение

Соединим центры вписанных кругов между собой. Площадь "звездочки" найдём как разность между площадью полученного внутреннего n-угольника (его вершины – центры вписанных кругов) и площадью суммы n секторов вписанных кругов, высекаемых сторонами внутреннего многоугольника (см. рис.).

Сторона внутреннего многоугольника равна диаметру кругов. Вычислим их радиус r – радиус вписанной окружности четырёхугольника OKAL. По известной формуле     Площадь внутреннего многоугольника     Сумма углов всех секторов равна  (n – 2)π,  поэтому сумма S2 их площадей равна сумме площадей  n – 2  полукругов радиуса r. Итак, искомая площадь равна   


Ответ

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Белорусские республиканские математические олимпиады
олимпиада
Год 1962
Номер 12
Название 12-я Белорусская республиканская математическая олимпиада
Задача
Название Задача 9.6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .