Задача 108998

Темы:    [ Площадь многоугольника ] [ Перегруппировка площадей ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

На катетах и гипотенузе прямоугольного треугольника построены квадраты, расположенные вне треугольника. Вычислить площадь шестиугольника, вершины которого совпадают с теми вершинами квадратов, которые не принадлежат данному треугольнику. Длина гипотенузы c и сумма длин катетов s известны.

Решение

Продолжим сторону EA и опустим на неё перпендикуляр FP . Продолжим также сторону CL и опустим на неё перпендикуляр KT (рис.). Треугольники TCK и PFA равны треугольнику ABC (по гипотенузе и острому углу, например, FAP= BAC как углы со взаимно перпендикулярными сторонами). Треугольник BMN равен треугольнику ABC . Треугольник EAF равновелик треугольнику AFP , треугольник LCK равновелик треугольнику CTK , так как FA есть медиана треугольника EFP , а CK – медиана треугольника TKL . Поэтому площадь нашего шестиугольника состоит из площади трёх квадратов и четырёх равновеликих треугольников. Если длину катетов обозначить соответственно через a и b , то площадь шестиугольника будет равна

a²+b²+c²+4ab/2=a²+b²+2ab+c²=(a+b)²+c²=s²+c².

Ответ

s²+c² .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Белорусские республиканские математические олимпиады
олимпиада
Год	1963
Номер	13
Название	13-я Белорусская республиканская математическая олимпиада
Задача
Название	Задача 8.1