Задача 109026

Темы:    [ Построение треугольников по различным элементам ] [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ] [ Вневписанные окружности ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Прямоугольные треугольники (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Условие

Построить прямоугольный треугольник по радиусам вписанной и вневписанной (в прямой угол) окружностей.

Решение

1-й способ. Пусть искомый прямоугольный треугольник ABC построен. O – центр вписанного круга, O₁ – центр вневписанного круга. Тогда гипотенуза BC является общей внутренней касательной к двум окружностям, вписанным в данный прямой угол (рис. 1). Центры этих окружностей находятся на биссектрисе прямого угла на расстояниях от катетов, равных радиусам вписанного и вневписанного в искомый треугольник кругов. Поскольку радиусы даны, то можно построить эти круги. Остается построить общую касательную к этим кругам. Для этого нужно определить положение точки K пересечения этой касательной (гипотенузы) с биссектрисой прямого угла. Из подобия треугольников OEK и O₁FK ( O₁F BC, OE BC ) OE:O₁F=OK:KO₁ или r:R=OK:KO₁ , где r – радиус вписанного, а R – радиус вневписанного круга. Точку K можем построить, разделив в известном отношении ( r:R ) отрезок OO₁ . Теперь, чтобы построить гипотенузу BC , достаточно из точки K провести касательную к одному из кругов. Через точку K можно провести в общем случае две внутренние касательные к построенным кругам ( BC и B₁C₁ ). Получим два симметричных прямоугольных треугольника, которые нельзя рассматривать как два решения, ибо эти треугольники равны. Если OO₁=r+R , то можно провести лишь одну внутреннюю касательную к данным окружностям и также построить искомый треугольник. Построение невозможно, если линия центров построенных окружностей (расстояние между их центрами) меньше суммы радиусов, ибо тогда окружности пересекаются и не имеют общей внутренней касательной. Запишем это условие по-другому: AO₁ должно быть не меньше, чем AO+r+R . AO=r, AO₁=R . Поэтому необходимо для наличия решения условие:

R>= r+r+R, или

R(-1)>= r(+1), или

R>= r(3+2).
2-й способ: Соединим вершину B прямоугольного треугольника с центром вневписанной окружности O₁ и с центром вписанного круга O . BO₁ – биссектриса угла PBC , так как O₁ лежит на биссектрисе внешнего угла данного треугольника (рис. 2). Точно так же BO – биссектриса угла ABC . Биссектрисы смежных углов взаимно перпендикулярны. Поэтому OBO₁ = 90^o . Отсюда вытекает простой способ построения искомого треугольника после построения двух окружностей, вписанных в данный прямой угол (данные радиусы этих окружностей по-прежнему должны удовлетворять условию R>= r(3+2) ). На отрезке OO₁ как на диаметре строим полуокружность. Точки ее пересечения с одной из сторон прямого угла будут вершинами острого угла искомого треугольника. Этих точек может быть две или одна. Случай отсутствия точек пересечения исключен нашим условием. Если получатся две точки, то построенные треугольники будут конгруэнтными, но симметрично расположенными относительно биссектрисы прямого угла, вершины B и C поменяются ролями. (Вершина второго острого угла аналогично находится на другой стороне прямого угла).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Белорусские республиканские математические олимпиады
олимпиада
Название	15-я Белорусская республиканская математическая олимпиада
Год	1965
Номер	15
Задача
Название	Задача 9.3