Условие
Точка M равноудалена от трёх прямых AB , BC и AC . Докажите, что
ортогональная проекция точки M на плоскость ABC является центром
вписанной окружности либо одной из вневписанных окружностей
треугольника ABC .
Решение
Пусть M1 – ортогональная проекция точки M на плоскость ABC ,
P и Q – основания перпендикуляров, опущенных из точки M на прямые
AB и AC . Так как M1P и M1Q – ортогональные проекции наклонных
MP и MQ на плоскость ABC и MP 
AB , MQ AC , то по теореме
о трёх перпендикулярах M1P AB и M1Q AC . Из равенства
прямоугольных треугольников MM1P и MM1Q следует равенство отрезков
M1P и M1Q . Значит, точка M1 равноудалена от прямых AB и AC .
Следовательно, точка M1 лежит на биссектрисе одного из углов, образованных
прямыми AB и AC . Аналогично, точка M1 лежит на биссектрисе
одного из углов, образованных прямыми AB и BC , а также – на
биссектрисе одного из углов, образованных прямыми AC и BC .
Если точка M1 лежит внутри треугольника ABC , то M1 – точка
пересечения биссектрис углов треугольника ABC , т.е. центр
окружности, вписанной в этот треугольник. Если точка M1 лежит вне
треугольника ABC , то M1 – точка пересечения биссектрисы одного из
внутренних углов треугольника ABC и биссектрис двух внешних его
углов. В этом случае M1 – центр вневписанной окружности
треугольника ABC .
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
8174 |
