Условие
В плоскости расположена прямая
y и прямоугольный треугольник
ABC с катетами
AC=3
; BC=4
. Вершина
C находится на расстоянии
10 от прямой
y . Угол между
y и направлением катета
AC равен
α . Надо определить угол
α , при котором поверхность,
полученная вращением треугольника
ABC вокруг прямой
y , будет
наименьшей.
Решение
Для начала найдём площадь поверхности полученного тела вращения.
Площадь боковой поверхности конуса, образованного вращением
CD ,
равна
π· CD2 sinα . Тогда площадь поверхности,
образованной вращением отрезка
AC вокруг оси
y будет составлять
π CD2 sinα-π (
CD-3)
2 sinα=π sinα·
(6
CD-9)
=π sinα(
(6
·
10)/
sinα-9)
=π(60
-9
sinα)
.
Угол между
y и направлением катета
BC равен
90
o+α .
Теперь аналогично мы можем вычислить площадь поверхности,
образованной вращением
BC . Она равна
π sin(
α+90
o)(
(8
·
10)/(
sin(
α+90
o))
-16)
=π(80
-16
cosα)
.
Осталось вычислить площадь поверхности, образуемой вращением отрезка
AB . Угол между прямой
y и направлением отрезка
AB равен
α-β , где
β=
BAC . Тогда
sin(
α-β)
= sinα cosβ- sinβ cosα=3/5
sinα-4/5
cosα . Расстояние
AAy равно
10
-AC sinα=10
-3
sinα . Теперь мы можем вычислить искомую
площадь. Она равна
π(10
·(10
-3
sinα)
+25
·(
3/5 sinα-4/5 cosα))
=
π(100
-15
sinα-20
cosα)
.
Таким образом, площадь поверхности всей фигуры вращения треугольника
ABC вокруг оси
y равна
π(60
-9
sinα+80
-16
cosα+100
-15
sinα-20
cosα)
=π(240
-12(2
sinα+3
cosα))
.
Отметим, что если бы точка
A или
B лежала по другую сторону от
прямой, проходящей через вершину
C параллельно прямой
y , то
формула для площади получилась бы другой. Получились бы другие знаки
слагаемых в формуле для площади поверхности тела вращения. Однако
все они сводятся к выведенной формуле, если позволить углу
α
изменяться от
0
o до
360
o .
Итак, минимум площади будет достигаться при максимуме выражения
2
sinα+3
cosα=
sin(
α+ϕ)
, где
вспомогательный угол
ϕ= arctg3/2 . Это выражение достигает
максимума при
α+ϕ=π/2
. Откуда
α=π/2
- arctg3/2= arctg2/3 .
Ответ
α= arctg2/3 .
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Белорусские республиканские математические олимпиады |
|
олимпиада |
|
Название |
14-я Белорусская республиканская математическая олимпиада |
|
Год |
1964 |
|
Номер |
14 |
|
неизвестно |
|
Название |
Задача 11.4 |
