Задача 109172

Темы:    [ Замена переменных (прочее) ] [ Выделение полного квадрата. Суммы квадратов ] [ Многочлены (прочее) ] [ Исследование квадратного трехчлена ]

Сложность: 3 Классы: 9,10

Условие

Дан многочлен  x(x + 1)(x + 2)(x + 3).  Найти его наименьшее значение.

Решение

x(x + 3)(x + 1)(x + 2) = (x² + 3x)(x² + 3x + 2).  Обозначим  x² + 3x  через z. Тогда  (x² + 3x)(x² + 3x + 2) = z(z + 2) = (z + 1)² – 1.  Наименьшее значение –1 этой функции достигается при  z = –1.  Уравнение  x² + 3x + 1 = 0  имеет решения (дискриминант больше нуля), следовательно, такое x, при котором наша функция достигает значения –1, существует.

Ответ

–1.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Белорусские республиканские математические олимпиады
олимпиада
Год	1966
Название	16-я Белорусская республиканская математическая олимпиада
Номер	16
неизвестно
Название	Задача 10.5