ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109191
Темы:    [ Две касательные, проведенные из одной точки ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Прямоугольные треугольники (прочее) ]
[ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В остроугольный треугольник вписана окружность радиуса R. К окружности проведены три касательные, разбивающие треугольник на три прямоугольных треугольника и шестиугольник. Периметр шестиугольника равен Q. Найдите сумму диаметров окружностей, вписанных в прямоугольные треугольники.


Решение

  Точки касания вписанной окружности со сторонами шестиугольника и его вершины разбивают его периметр на 12 частей, при этом шесть выходят из вершин прямых углов, а шесть – из вершин тупых (назовём эти последние части важными). Длины всех не важных частей равны R  (HN = HL = R,  так как INHL – квадрат со стороной R), поэтому сумма длин шести важных частей равна  Q – 6R.  Рассмотрим один из прямоугольных треугольников CGH (H – вершина прямого угла, на какой из сторон треугольника ABC она расположена нам неважно). Касательные, проведённые из точки H, обозначим HL и HN, а касательные из точки G – GK и GN.

  Пусть вписанная в треугольник CGH окружность касается стороны GH в точке P. Как известно,  HP = GN  (N – точка касания вневписанной окружности). Поэтому  dC = 2HP = 2GN = GN + GK.
  Повторив аналогичные вычисления для остальных треугольников, получим, что искомая сумма диаметров равна сумме длин шести важных частей периметра, то есть  Q – 6R.


Ответ

Q – 6R.

Замечания

6 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 28
Дата 2006/2007
вариант
Вариант осенний тур, основной вариант, 8-9 класс
задача
Номер 4
web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 5717

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .