|
|
 |
Условие
Пусть =
, где
– несократимая дробь.
Докажите, что неравенство bn+1 < bn выполнено для бесконечного числа натуральных n.
Решение 1
Пусть n = p(p – 1), где p – нечётное простое число.
Заметим, что bn+1 не делится на p.
Действительно, в соответствующей сумме только знаменатели дробей делятся на p, но их можно сгруппировать попарно так, чтобы знаменатель суммы на p не делился:
В то же время
Пусть числитель и знаменатель последней дроби удалось сократить на d: an+1(p – 1)p ≡ bn+1 (mod d), bn+1(p – 1)p ≡ 0 (mod d).
Тогда an+1(p – 1)²p² ≡ bn+1(p – 1)p ≡ 0 (mod d). Числа d и p взаимно просты (иначе bn+1 кратно p). Числа d и an+1 тоже взаимно просты (иначе bn+1 делится на их общий делитель, то есть an+1 и bn+1 не взаимно просты). Поэтому (p – 1)² делится на d. Следовательно, d ≤ (p – 1)².
Значит,
Решение 2
Возьмём n = 2·3k – 1.
(p и q взаимно просты друг с другом и с числом 3; m < k).
В то же время то есть bn+1 ≤ 2q·3k–1 < bn.
Замечания
Баллы: 8-9 кл. – 8, 10-11 кл. – 7.
