ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109193
Темы:    [ Простые числа и их свойства ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
[ Обыкновенные дроби ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пусть   = ,  где    – несократимая дробь.
Докажите, что существует бесконечно много натуральных n, при которых выполнено неравенство  bn+1 < bn.


Решение 1

  Пусть  n = p(p – 1),  где p – нечётное простое число.
  Заметим, что bn+1 не делится на p. Действительно, в соответствующей сумме только знаменатели дробей     делятся на p, но их можно сгруппировать попарно так, чтобы знаменатель суммы на p не делился:  
  В то же время  
  Пусть числитель и знаменатель последней дроби удалось сократить на d:  an+1(p – 1)pbn+1 (mod d),  bn+1(p – 1)p ≡ 0 (mod d).
  Тогда  an+1(p – 1)²p² ≡ bn+1(p – 1)p ≡ 0 (mod d).  Числа d и p взаимно просты (иначе bn+1 кратно p). Числа d и an+1 тоже взаимно просты (иначе bn+1 делится на их общий делитель, то есть an+1 и bn+1 не взаимно просты). Поэтому  (p – 1)²  делится на d. Следовательно,  d ≤ (p – 1)².
  Значит,  


Решение 2

  Возьмём   n = 2·3k – 1.
    (p и q взаимно просты друг с другом и с числом 3;  m < k).

  В то же время     то есть  bn+1 ≤ 2q·3k–1 < bn.

Замечания

Баллы: 8-9 кл. – 8, 10-11 кл. – 7.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 28
Дата 2006/2007
вариант
Вариант осенний тур, основной вариант, 8-9 класс
задача
Номер 6
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 28
Дата 2006/2007
вариант
Вариант осенний тур, основной вариант, 10-11 класс
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .