Задача 109240

Темы:    [ Перпендикулярные плоскости ] [ Сфера, описанная около тетраэдра ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

В треугольной пирамиде SABC две равные боковые грани ASB и CSB перпендикулярны плоскости основания, а грань ASC наклонена к плоскости основания под углом β . Найдите радиус шара описанного около пирамиды, если радиус окружности, описанной около основания, равен r и ABC = α .

Решение

Плоскости граней ASB и CSB перпендикулярны плоскости основания ABC и пересекаются по прямой SB . Поэтому прямая SB перпендикулярна плоскости основания ABC , т.е. SB – высота пирамиды SABC . Из равенства треугольников ASB и CSB следует, что AB = BC . Поэтому треугольник ABC равнобедренный. Пусть K – середина AC . Тогда BK – биссектриса и высота равнобедренного треугольника ABC . Поэтому

BK = BC cos KBC = BC cos =

= 2r sin BAC· cos = 2r sin (90^o - ) cos =

= 2r cos · cos = 2rcos2 .
Так как BK – ортогональная проекция наклонной SK на плоскость основания ABC , то по теореме о трёх перпендикулярах SK AC . Значит, BKS – линейный угол двугранного угла между плоскостью грани ASC и плоскостью основания ABC . По условию задачи BKS = β . Из прямоугольного треугольника BKS находим, что
SB = BK tg BKS = 2r cos2 tg β.
Центр O сферы, описанной около пирамиды SABC , лежит на перпендикуляре к плоскости основания ABC , проходящем через центр Q окружности, описанной около треугольника ABC , а также в плоскости, перпендикулярной ребру SB , проходящей через середину M отрезка SB . Пусть R – радиус этой сферы. Прямые OQ и SB перпендикулярны одной и той же плоскости ABC , значит, QD || SB . В прямоугольнике OQBM известно, что
OQ = MB = SB = r cos2 tg β, QB = r.
Следовательно,
R = OB = = = r.

Также доступны документы в формате TeX

Ответ

r .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	7938