ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109251
Темы:    [ Равногранный тетраэдр ]
[ Достроение тетраэдра до параллелепипеда ]
Сложность: 3
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Существует ли тетраэдр, у которого пары противоположных рёбер равны 12 и 12, 5 и 5, 13 и 13?

Решение



Предположим, что такой тетраэдр существует. Достроим его до параллелепипеда, проведя через противоположные рёбра три пары параллельных плоскостей. Поскольку противолежащие рёбра тетраэдра попарно равны, получим прямоугольный параллелепипед. Пусть его измерения равны AK=a , KB=b и AN=c . Тогда по теореме Пифагора

a2 + b2 = 25, a2 + c2 = 144, b2 + c2 = 169.

Сложим почленно два первых равенства и от результата отнимем третье. Получим, что a = 0 . Что невозможно.

Треугольник BAD – прямоугольный, т.к.
AB2+AD2= 25+144 = 169 = BD2.

Поэтому DA AB . Аналогично, AD DC , BC AB и BC CD . Значит, AD и BC – общие перпендикуляры скрещивающихся прямых AB и CD , что противоречит единственности общего перпендикуляра скрещивающихся прямых.

Поскольку противоположные рёбра данного тетраэдра попарно равны, то он равногранный. Известно, что грани равногранного тетраэдра – остроугольные треугольники.

Ответ

Нет.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 8040

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .