Задача 109260

Темы:    [ Ортоцентрический тетраэдр ] [ Сфера, касающаяся ребер или сторон пирамиды ] [ Достроение тетраэдра до параллелепипеда ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Все ребра треугольной пирамиды ABCD касаются некоторого шара. Три отрезка, соединяющие середины скрещивающихся рёбер AB и CD , AC и BD , AD и BC , равны между собой, ABC = 100^o . Найдите отношение высот, опущенных из вершин A и B .

Решение

Пусть каждый из отрезков, соединяющих середины противоположных рёбер тетраэдра ABCD , равен a . Достроим данный тетраэдр до параллелепипеда AKBLNDMC ( AN || KD || BM || LC ), проведя через его противоположные рёбра пары параллельных плоскостей (рис.1). Отрезки, соединяющие середины противоположных рёбер тетраэдра ABCD , соответственно равны и параллельны рёбрам параллелепипеда AKBLNDMC , значит, все грани этого параллелепипеда – ромбы все стороны которых равны a . По теореме о сумме квадратов диагоналей параллелограмма

AB2 + CD2 = 4a2, AC2 + BD2 = 4a2, AD2 + BC2 = 4a2.
Следовательно,
AB2 + CD2 = AC2 + BD2 = AD2 + BC2.
Пусть указанный шар касается рёбер AB , CD , AD и BC тетраэдра ABCD в точках E , F , G и H соответственно (рис.2). Тогда
AB + CD = (AE + BE) + (CF + DF) = (AG + BH) + (CH + DG) =

= (AG + DG) + (CH + BH) = AD + BC.
Аналогично, AC + BD = AB + CD и AD + BC = AB + CD . Рассмотрим равенства
AB2 + CD2 = AC2 + BD2, AB + CD = AC + BD.
Возведем обе части второго равенства в квадрат и из результата почленно вычтем первое. Получим
AB2 + CD2 = AC2 + BD2, 2AB· CD = 2AC· BD.
Значит, (AB - CD)2 = (AC - BD)2 , откуда
AB - CD = AC - BD или AB - CD = BD - AC,
а т.к. AB + CD = AC + BD , то первом случае AB = AC и CD = BD , что невозможно, т.к. ABC = 100^o > 90^o , а во втором – AB = BD и CD = AC . Аналогично, из равенств
AB2 + CD2 = AD2 + BC2, AB + CD = AD + BC
получим, что AB = AD и CD = BC (этот случай невозможен, т.к. тогда из равенств CD = AC и CD = BC следует, что AC = BC ) или AB = BC и CD = AD . Таким образом, мы доказали, что
AB = BD, CD = AC, AB = BC, CD = AD,
поэтому
AB = BD = BC, AC = AD = CD,
т.е. ABCD – правильная треугольная пирамида с вершиной B (рис.3). Пусть h – её высота, опущенная из вершины A основания на боковую грань BCD , а H – высота, опущенная из вершины B на основание ACD ; K – середина CD . Тогда
= = = = tg 50^o.

Ответ

tg 50^o .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8049