Условие
В треугольной пирамиде ABCD известно, что AB 
CD , AC BD ,
AC = BD , BC = a . Кроме того, известно, что некоторый шар касается всех
рёбер этой пирамиды. Найдите радиус шара.
Решение
Достроим данный тетраэдр ABCD до параллелепипеда AKBLNDMC
( AN || KD || BM || LC) , проведя через его
противоположные рёбра пары параллельных плоскостей (рис.1).
Так как AB CD и KL || CD , то KL AB , поэтому
параллелограмм AKBL – ромб. Тогда равный ему параллелограмм NDMC
– также ромб. Аналогично, грани ANCL и KDMB – ромбы. Значит,
AN = AL = AK , поэтому оставшиеся грани AKDN и LBMC – также ромбы.
Следовательно, AD BC . Кроме того, т.к. AC = BD , то грани ANCL и
KDMB – прямоугольники.
Таким образом, все рёбра параллелепипеда равны. Обозначим их
длины через x . По теореме о сумме квадратов диагоналей
параллелограмма
AB2 + CD2 = 4x2, AC2 + BD2 = 4x2,
AD2 + BC2 = 4x2.
Следовательно,
AB2 + CD2 = AC2 + BD2 = AD2 + BC2.
Пусть сфера радиуса
r касается рёбер
AB ,
CD ,
AD и
BC тетраэдра
ABCD в точках
E ,
F ,
G и
H соответственно (рис.2). Тогда
AB + CD = (AE + BE) + (CF + DF) = (AG + BH) + (CH + DG) =
= (AG + DG) + (CH + BH) = AD + BC.
Аналогично,
AC + BD = AB + CD . Обозначим
AC = BD = x . Тогда
AB + CD = AC + BD = 2x, AB2 + CD2 = AC2 + BD2 = 2x2.
Возведём обе части первого равенства в квадрат и вычтем из
полученного равенства второе. Из системы
AB + CD = 2x, AB· CD = x2,
находим, что
AB = CD = x . Аналогично,
AD = BC = x .
Поэтому
x = AD = BC = AB = CD = AC = BD = a.
Значит,
ABCD – правильный тетраэдр с ребром
a , а
параллелепипед
AKBLNDMC – куб, диагональ грани которого равна
a ,
а ребро равно
(рис.3). Данная сфера вписана в этот куб,
поэтому радиус шара вдвое меньше ребра куба. Следовательно,
r = 
= 
.
Ответ
.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
8050 |
