Задача 109261

Темы:    [ Ортоцентрический тетраэдр ] [ Сфера, касающаяся ребер или сторон пирамиды ] [ Достроение тетраэдра до параллелепипеда ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

В треугольной пирамиде ABCD известно, что AB CD , AC BD , AC = BD , BC = a . Кроме того, известно, что некоторый шар касается всех рёбер этой пирамиды. Найдите радиус шара.

Решение

Достроим данный тетраэдр ABCD до параллелепипеда AKBLNDMC ( AN || KD || BM || LC) , проведя через его противоположные рёбра пары параллельных плоскостей (рис.1). Так как AB CD и KL || CD , то KL AB , поэтому параллелограмм AKBL – ромб. Тогда равный ему параллелограмм NDMC – также ромб. Аналогично, грани ANCL и KDMB – ромбы. Значит, AN = AL = AK , поэтому оставшиеся грани AKDN и LBMC – также ромбы. Следовательно, AD BC . Кроме того, т.к. AC = BD , то грани ANCL и KDMB – прямоугольники. Таким образом, все рёбра параллелепипеда равны. Обозначим их длины через x . По теореме о сумме квадратов диагоналей параллелограмма

AB2 + CD2 = 4x2, AC2 + BD2 = 4x2, AD2 + BC2 = 4x2.
Следовательно,
AB2 + CD2 = AC2 + BD2 = AD2 + BC2.
Пусть сфера радиуса r касается рёбер AB , CD , AD и BC тетраэдра ABCD в точках E , F , G и H соответственно (рис.2). Тогда
AB + CD = (AE + BE) + (CF + DF) = (AG + BH) + (CH + DG) =

= (AG + DG) + (CH + BH) = AD + BC.
Аналогично, AC + BD = AB + CD . Обозначим AC = BD = x . Тогда
AB + CD = AC + BD = 2x, AB2 + CD2 = AC2 + BD2 = 2x2.
Возведём обе части первого равенства в квадрат и вычтем из полученного равенства второе. Из системы
AB + CD = 2x, AB· CD = x2,
находим, что AB = CD = x . Аналогично, AD = BC = x . Поэтому
x = AD = BC = AB = CD = AC = BD = a.
Значит, ABCD – правильный тетраэдр с ребром a , а параллелепипед AKBLNDMC – куб, диагональ грани которого равна a , а ребро равно (рис.3). Данная сфера вписана в этот куб, поэтому радиус шара вдвое меньше ребра куба. Следовательно,
r = = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8050