Задача 109280

Темы:    [ Касательные к сферам ] [ Касающиеся сферы ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

В треугольнике ABC известно, что AC = 12 , AB = BC = 3 . Два шара касаются плоскости треугольника ABC в точках A и C и расположены по разные стороны от этой плоскости. Расстояние между центрами этих шаров равно 15. Центр третьего шара находится в точке B , и этот шар внешним образом касается двух данных шаров. Найдите радиус третьего шара.

Решение

Пусть O1 и O2 – центры шаров, касающихся плоскости треугольника ABC в точках A и C соответственно, x и y – их радиусы, z – радиус третьего шара. Через прямые O1A и O2C , перпендикулярные к плоскости ABC , проведём плоскость. В этой плоскости из точки O2 опустим перпендикуляр O2P на прямую O1A . В прямоугольном треугольнике O1O2P известно, что

O1O2 = 15, O1P = O1A + AP = O1A + O2C = x + y, O2P = AC = 12.
По теореме Пифагора
(x + y)2 + 144 = 225,
откуда x + y = 9 . Из прямоугольных треугольников ABO1 и CBO2 находим, что
(x + z)2 = x2 + 90, (y + z)2 = y2 + 90,
откуда
z2 + 2xz = 90, z2 + 2yz = 90.
Сложив почленно эти два уравнения, получим, что
2z2 + 2z(x + y) = 180,
а т.к. x + y = 9 , то
z2 + 9z - 90 = 0,
откуда находим, что z = 6 .

Ответ

6.00

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8069