Задача 109282

Темы:    [ Цилиндр ] [ Правильная призма ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Вершина A правильной призмы ABCA1B1C1 совпадает с центром одного из оснований цилиндра, вершины B1 и C1 лежат на окружности другого основания, а вершины A1 , B , C – на боковой поверхности цилиндра. Найдите отношение объёмов цилиндра и призмы.

Решение

Обозначим через r радиус основания цилиндра, h – высоту цилиндра, a – сторону основания призмы, l – боковое ребро призмы. Пусть C' , B' , A'1 и A' – ортогональные проекции точек C , B , A1 и A на плоскость основания цилиндра, содержащую вершины B1 и C1 призмы ABCA1B1C1 (рис.2). Тогда A' – центр окружности этого основания, C'B' и C1B1 – равные параллельные хорды этой окружности,

A'C' || A1'C1, A'B' || A'1B1, A'C1 = A'C' = A'B1 = A'A'1 = r.
Поэтому A'C1A1' – равносторонний треугольник со стороной r . Тогда a = C1B1 = 2· = r . Следовательно, = . Рассмотрим сечение цилиндра плоскостью, проходящей через точки A , A1 и A' (рис.3). Пусть P – ортогональная проекция точек B1 и C1 на эту плоскость. Тогда P – середина отрезка A'A1' , а A1P – высота равностороннего треугольника A1B1C1 , поэтому A1P = = . Если M – проекция точки A1 на плоскость верхнего основания цилиндра, то AM = r . Тогда из подобия прямоугольных треугольников PA'1A1 и A1MA находим, что
MA1 = , l = AA1 = ,
поэтому
h = MA1' = MA1 + A1A1' = + r = .
Тогда
= = .
Следовательно,
= = · · = · ()2· = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8071