Задача 109286

Темы:    [ Неравенства с трехгранными углами ] [ Теорема косинусов ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Все плоские углы трёхгранного угла прямые. Докажите, что любое его сечение, не проходящее через вершину, есть остроугольный треугольник.

Решение

Пусть точки A , B и C , отличные от точки O , лежат на рёбрах данного трёхгранного угла с вершиной O . Обозначим OA = a , OB = b , OC = c . Из прямоугольных треугольников AOB , AOC и BOC по теореме Пифагора находим, что

AB2 = a2 + b2, AC2 = a2 + c2, BC2 = b2 + c2.
По теореме косинусов
cos BAC = = = > 0.
Следовательно, BAC < 90^o . Аналогично, остальные углы треугольника ABC также острые.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8245