Задача 109287

Темы:    [ Неравенства с трехгранными углами ] [ Теорема косинусов ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Верно ли, что у любого трёхранного угла есть сечение, являющееся правильным треугольником?

Решение

Рассмотрим трёхгранный угол OABC с вершиной O и плоскими углами AOB = AOC = 90^o , BOC = arccos . Предположим, что треугольник ABC – равносторонний. Обозначим AB = AC = BC = a , OA = b . По теореме Пифагора из прямоугольных треугольников AOB и AOC находим, что

OB2 = AB2 - OA2 = a2 - b2, OC2 = AC2 - OA2 = a2 - b2.
Тогда по теореме косинусов
= cos BOC = = = ,
откуда
3(a2 - b2) = 2(a2 - 2b2).
Значит, a2 + b2 = 0 , что невозможно. Следовательно, никакое сечение данного трёхгранного угла не является равносторонним треугольником.

Ответ

Нет.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8246